MAIS IDEB, DESCRITOR 02

Habilidade/Descritor

D2 – Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais

Conteúdos: Relações métricas no triângulo retângulo,

Por semelhança de triângulos obtemos as relações métricas

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Questão 01

Correndo em uma região plana, partindo de um ponto X, um corredor avança 22 km para o norte; a seguir, 12 km para o leste e, finalmente, 17 km no sentido sul, atingindo o ponto Y.

Qual a distância, em km, entre os pontos X e Y?

       A)   11 km        B) 12 KM       C) 13 KM        D) 14 KM       E) 15 KM

Solução: aplicação do teorema de Pitágoras

A situação.

 a² = b² + c² (teorema de Pitágoras

a² = 12² + 5²

a² = 144 + 25

a² = 169

a = √169 

a =  = 13 km (letra C)

 Questão 02

O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto.

Sabendo-se que essas cordas medem 1/2  e  6/5 a distância do lampião ao teto é

        A)  1,69          B)  1,3          C) 0,6          D) 1/2            E) 6/15

Solução: aplicação do teorema de Pitágoras com outra fórmula das relações métricas.

    A situação

AplIcando o teorema de Pitágoras no triângulo de vértices ABC (triângulo maior).

 a² = b² + c² ;      a² = (6/5)² = (1/2)²;      a² = 36/25 + 1/4

 a² = 144 + 25/100;    a² = 169/100;    a =  ;  a = √(169⁄100);    a = 13/10

Agora vamos usar uma relação métrica do triângulo retângulo que diz que o produto entre os catetos

 é igual ao produto da hipotenusa com a altura. 

 a . h = b . c

(13/10) . h = (6/5) . (1/2)

13h /10 = 6/10;      13h = 6;   h = 6/10  (letra E)

Questão 03

Uma escada de 25 m está encostada na parede vertical de um edifício de modo que o pé da escada 

está a 7 m da base do prédio,

Se o topo da escada escorregar 4m, quantos metros irá escorregar o pé da escada?

       A) 15 m        B) 10 m        C) 9 m        D) 8 m      E) 5 m

Solução: aplicação do teorema de Pitágoras nas duas situações.

A situação:

Calculando c no triângulo ABC (por Pitágoras)

a² = b² + c²

25² = 7² + c²;    225 = 49 + c²;     c² = 625 – 49;    c =√576  ;    c = 24 m (altura inicial)

Calculando o valor de quanto a escada escorregou.

A nova altura (topo) será 24 – 4 = 20 m, chamando isso de e pela figura.

O tamanho da escada é o mesmo, 25 m.

Chamando x, o quanto a escada escorregou temos;

 a² = e² + d², sendo d = 7 + x.

25² + 20² + (7+x)²;     625 = 400 + (49 + 14x + x²);  quadrado da soma.

x² + 14x + 400 + 49 – 625 = 0;   x² + 14x – 176 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau encontramos

x’ = 8 e x’’ = - 22, a raiz  negativa não convém.

x = 8 (letra D)

Questão 04

Observe a figura abaixo.

Se nos triângulos retângulos da figura, AB = 1, BC = 2, AD = 3, então

       A)  AB + BC < AC

       B)  AB + BC = AC

       C) AB + BC < CD

       D)  CD = BC

       E) CD + BC < AB + AD

Solução: teremos que encontrar todas as outras medidas para fazermos comparações entre as medidas (aplicação do teorema de Pitágoras).

Segmento AC.

(AC)² = (AB)² + (BC)²

(AC)² = 1² + 2²;   (AC)² = 1 + 4;  (AC) =√5  = 2,2

Segmento CD.

(AD)² = (AC)² + (CD)²

3² = (√5)² + (CD)²;  9 = 5 + (CD)²;   (CD)² = 9 – 5;   (CD)² = 4; (CD) =√4  = 2

Temos AB = 1; BC = 2; AD = 3. ENTÃO:

CD = BC (letra D)

Questão 05

A hipotenusa do triângulo retângulo ABC está localizada sobre a reta real, conforme indica a figura.

Se x > 0 e a medida da altura BD relativa ao lado AC do triângulo ABC, e 2√6  , então x é o número real

       A)     2√3            B) 4              C)    3√2         D) 5              E)  3√3 

Solução: aplicando a fórmula o quadrado da altura é igual o produto das projeções m e n.

 A situação:

h² = m . n

(2√6)² = (x – (-4)).(7- x)

4 . 6 = (x +4) . (7- x);   12 = 7x – x² + 28 -4x;    x² -7x + 4x +24 -28

x² -3x – 4 = 0, resolvendo a equação do 2º grau, temos x’ = -1 e x’’ = 4, a raiz negativa não convém 

para x > 0, logo é x = 4. (letra B)

Questão 06

Em uma região plana, à margem direita de uma rodovia retilínea, moram duas famílias. A casa de uma dessas famílias, representada, na figura abaixo, pelo ponto. A, localiza-se na altura do km 20 da rodovia e à distância de 400 metros dessa rodovia. A casa da outra família, representada, na figura abaixo, pelo ponto B, localiza-se na altura do km 21 da rodovia e à distância de 300 metros dessa rodovia. Para irem à escola, as crianças das duas famílias utilizam diariamente um ônibus que passa pela rodovia e só faz uma parada entre os km 20 e 21. Sendo assim, as famílias decidiram construir um ponto de ônibus, representado, na figura abaixo, pelo ponto P, entre os km 20 e 21 da rodovia, de modo que as crianças possam caminhar exatamente a mesma distância, em linha reta, para irem de suas casas até o ponto de ônibus. Considere d a distância, em metros, do km 20 ao local onde o ponto de ônibus deverá ser construído e calcule d e 1/15d.

Solução: aplicação do teorema de Pitágoras

A situação:

Transformado metros em quilômetros.

400 m = 0,4 km
300 m = 0,3 km
Teorema de Pitágoras

a₁ = a₂

(a₁)² = (a₂)²
d² + 0,4² = (1 - d) ² + 0,3²; 
d² + 0,16 = 1 - 2d + d² + 0,09
0,16 = 1 - 2d + 0,09
2d = 1,09 - 0,16
2d = 0,83
d = 0,415 km = 415 m
1/15d = 1/15.415 ----> 1/15d = 0,00016