MAIS IDEB-DESCRITOR 15

Habilidade/Descritor

D15 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas

Conteúdos: Variação proporcional: divisão diretamente proporcional, divisão inversamente proporcional; Regra de três simples e composta.

Questão 01

Três engenheiros se associaram para construir um edifício. Investiram respectivamente 2, 3 e 5 milhões de reais.

Se o lucro foi de 4 milhões, qual o ganho de cada um, em milhões, supondo que a divisão seja em partes proporcionais aos capitais investidos?

a     A)    0,8; 1,2; 2.        B)  1; 1; 2.       C)   0,8; 1,4; 1,8.      D)  0,6; 1,2; 2,2.       E)   0,6; 1,4; 2.

Solução: (questão sobre proporcionalidade direta)

O segredo aqui é calcular o coeficiente de proporcionalidade K, pois:

 

Questão 02

A importância de R$ 780,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e 37, respectivamente.

Qual a importância, em reais, que caberá ao primeiro colocado?

a     A)   300.000,00  B)  222.000,00   C)  258.000,00  D)  320.000,00  E)  260.000,00

Solução: (questão sobre proporcionalidade direta)

Questão 03

(UFGV) Num vestibular, sejam P₁, P₂, P₃ as possibilidades de 3 candidatos serem aprovados.

Admitindo que a soma das possibilidades seja 72 e que P₁, P₂, P₃ são respectivamente proporcionais a 2, 3, 4, então:

A)    P1 = 16,   P2 = 36,   P3 = 20            B) P1 = 24,  P2 = 16,  P3 = 32         C)  P1 = 32,  P2 = 16, 

P3 = 24              D)  P1 = 16,   P2 = 24,    P3 = 32          E)  P1 = 20,   P2 = 16,    P3 = 36

Solução: (questão sobre proporcionalidade direta)

Analogamente às questões anteriores, procuramos o coeficiente de proporcionalidade

Chamando as possibilidades de P1, P2, P3. e P1 + P2 + P3 = 72.

Questão 04

Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em horas de trabalho.

Nas mesmas condições, a mesma máquina limpará uma área de 11.900 m² em:

a     A)  9h             B)   7h          C)    6 h           D)    5 h         E)  4 h

Solução: (questão sobre proporcionalidade – regra de três simples)

Se forem diretas multiplica-se cruzado (produto entre extremos e meios), se forem inversas multiplica-se linearmente (em linha reta)

Regra de três simples:

Como se trata da mesma máquina (constante), usamos regra de três simples.

Se faz necessário saber se é direta ou inversamente proporcional.

Faremos perguntas à coluna de referência (a do x) 

Se aumentarmos a área aumentaremos a quantidade de h? Sim (diretas). 

Multiplicação cruzada

5100 m²            3 h

11900 m²          x h     (produto entre os extremos e meios)

5100 x = 35700

x = 35700/5100

x = 7 h     (letra b)

Questão 05

Duas rodas dentadas que estão engrenadas uma na outra, respectivamente, 12 e 54 dentes.

Quando a maior der 8 voltas, a menor dará?

a    A) 12 voltas              B)  36 voltas          C)  15 voltas         D)  42 voltas        E)  22 voltas

Solução: (questão sobre proporcionalidade – regra de três simples)

Regra de três simples (excluímos as rodas, são iguais, é uma constante)

DIFERENTE:

Se faz necessário saber se é direta ou se é inversamente proporcional.

Quanto maior número de dentes menor o número de voltas (inversa).

Multiplicação em linha reta.

 54 dentes          8 voltas

 12 dentes          x voltas   

       

 54 . 8 = 12 . x

12x = 432

 x = 432/12

x = 36      (letra B)

Questão 06

Uma costureira pagou R$ 960,00 por uma peça de tecido e R$ 760,00 por outra de mesma qualidade.

Qual o comprimento da mais cara, sabendo-se que ela tem 12 m a mais do que a segunda?

a     A)    70 m           B)  60 m            C)  50 m              D)  48 m                E)  40 m

Solução: (questão de regra de três simples)

Se faz necessário saber se é direta ou se é inversamente proporcional.

Faremos perguntas à coluna de referência ( a do x) 

Se aumentarmos o comprimento, aumenta o preço da peça? Sim (diretas). 

Multiplicação cruzada.

Chamando de x, o comprimento da segunda. A primeira é x + 12, (a mais cara)

768                  x

960                  x + 12

960 x = 768 . (x + 12)

960 x = 768x + 9216

960x – 768x = 9216

192x = 9216

x = 9216/192

x = 48     (letra D)

Questão 07

Com 36 kg de fio foram tecidos 126 m de pano, com 0,6 m de largura.

Quantos metros de pano com 0,72 m de largura se podem tecer com 48 kg do mesmo fio?

a     A)     120          B)  130             C)  135            D)  140           E)  150

Solução: (questão de regra de três simples)

1º passo: calcular a área do pano 1: 126m . 0,6m = 75,6 m². Área do pano 2: (0,72m . x)m²

36 kg         75,6 m²

48 kg         (0,72.x) m²

Como são grandezas diretamente proporcionais, se aumentarmos o quilo, aumentamos a área. 

(multiplica-se cruzado)

36 . 0,72x = 48 . 75,6

25,92x = 3.628,8

x = 3628,8/25,92

x = 140   (letra D)

Questão 08

(SENAI) Numa malharia, 3 máquinas, trabalhando 8 horas por dia, produzem 510 camisetas.

Nas mesmas condições, quantas camisetas são produzidas por 4 máquinas trabalhando 10 horas por dia.

a     A)   360           B)   420         C)   640          D)   850         E)    935

Solução: (questão de regra de três composta, mais de duas grandezas)

DIFERENTE:

Método causa x consequência Com esse método driblamos essas perguntas para sabermos quem é direta e quem é inversa. 

Faz-se a pergunta para o sujeito da ação, a resposta é a consequência.

O sujeito é a máquina. (o que estão fazendo as máquinas?), produzindo camisetas, a resposta a essa pergunta é a consequência, o resto é causa. 

CAUSA                    X        CONSEQUÊNCIA (camisetas)

3 maq         8h/d      X          510 camisetas 

4 maq         10h/d    X          x  camisetas 

Multiplica-se todos fatores da causa em linha reta, ao chegar na linha vertical do X, multiplica-se cruzado. 

 3 . 8 . x =  4 . 10 . 510

 24x = 20400

 x = 20400/24

 x = 850   (letra D)

Questão 09

Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo se 12 operários em 20 dias de trabalho de 8 horas diárias.

Se esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias, com 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por dia eles deveriam trabalhar?

a       A)  5h                B)  6h             C)  7,5h             D)  8h              E)  8,5h

Solução: (questão de regra de três composta, mais de duas grandezas)

DIFERENTE:

Método causa x consequência Com esse método driblamos essas perguntas para sabermos quem é direta e quem é inversa. 

Faz-se a pergunta para o sujeito da ação, a resposta é a consequência.

O sujeito é o operário. (o que estão fazendo os operários?), um trabalho, a resposta a essa pergunta é a consequência, o resto é causa. 

CAUSA                                            X        CONSEQUÊNCIA (trabalho)

12 op           20 dias      8 h/d           X           1 trabalho

16 op           16 dias       x h/d          X           1 trabalho

Multiplica-se todos fatores da causa em linha reta, ao chegar na linha vertical do X, multiplica-se cruzado.  

 12 . 20 . 8 . 1 =  16 . 16 . x . 1

 1920 = 256x

 x = 1920/256

 x = 7,5   (letra C)

QUESTÃO DESAFIO

Se 54 jardineiros, trabalhando 5 horas por dia, levaram 45 dias para arborizar um parque de forma retangular de 2,25 km de comprimento por 1,50 de largura, quantos jardineiros serão necessários para arborizar em 18 dias, trabalhando 12 horas por dia, outro parque retangular de 1,95 km de comprimento por 1,20 km de largura?

Solução: (questão de regra de três composta, mais de duas grandezas)

DIFERENTE:

Calculando a área do parque um: 2,25 x 1,50 = 3,375 km²

Calculando a área do parque dois: 1,95 x 1,20 = 2,34 km²

Faz-se a pergunta para o sujeito da ação, a resposta é a consequência.

O sujeito é o jardineiro. (o que estão fazendo os jardineiros?), arborizando áreas, a resposta a essa pergunta é a consequência, o resto é causa. 

CAUSA                                                      X        CONSEQUÊNCIA (área)

54 jard.          5 h/d       45 dias                 X           3,375 km²

 X jard.          12 h/d      18 dias                X           2,34 km²

Multiplica-se todos fatores da causa em linha reta, ao chegar na linha vertical do X, multiplica-se cruzado.  

54 . 5 . 45 . 2,34 = x . 12 . 18 . 3,375

28431 = 729x

x = 28431/729

x = 39 jardineiros